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Feb 23, 2014

1辺がn個の1円玉で構成される正6角形に含まれる1円玉の個数


小学校4年生の次女が1円玉を水に浮かべて表面張力の実験がしたいと言うのでやってみた。洗面器に水を張ってただひたすら1円玉を浮かべるだけなのだが、1円玉同士が勝手にくっついてなかなか面白い。きれいに並べると正6角形になる。洗面器一杯やったら冒頭の写真のように1辺5個になり、数え上げると61枚あった。

せっかくなので、1辺がn個の1円玉で構成される正6角形に含まれる1円玉の個数(下記の式 Sn)を導出してみた:
・漸化式: S1 = 1 、 Sn = 6 ( n - 1 ) + Sn - 1
・一般項: Sn = 3 n ( n - 1 ) + 1

(おまけ1)
上式を計算するエクセルシートを作成したので公開する:

20140223-hexagon.xls(エクセルファイル/24KB)
20140223-hexagon.pdf(PDFファイル/52KB)

(おまけ2)
一般項 Sn = 3 n ( n - 1 ) + 1 の幾何学的な説明を追加:

20140223-ippanko.pdf(PDFファイル/176KB)

※2014.02.24(月)16:45追記:
(おまけ2)の改定1(背景写真を線図に差替)

20140224-ippanko-rev1.pdf(PDFファイル/44KB)

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