チョコエッグの世界の戦闘機シリーズ全14機種が揃う期待値

トラックバックをたどっていて、チョコエッグの世界の戦闘機シリーズ全14機種が揃う期待値はどうやったら計算できるか、というテーマの記事があった（中学受験における算数問題）。

ざっと計算してコメントしたが、せっかくなので計算過程の資料も含め、記事として残しておくことにする。

以下、私がその記事（中学受験における算数問題）に投稿したコメントの引用（※一部修正している）：

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n個目を買ったときにまだ買っていない機種を買う確率を　P(n)、n個目を買ったときまで買い揃っている機種の期待値を　E(n)、とすると、E(n)　は　P(n)　の和ですから、
E(n)　＝　Σ P(n)　(i=1,n)

１個目を買ったとき
　まだ買っていない機種は14種類
　取りうる種類は14種類
　∴まだ買っていない機種が当たる確率は
　　P(1)＝14/14

2個目を買ったとき
　まだ買っていない機種は13種類
　取りうる種類は14種類
　∴まだ買っていない機種が当たる確率は
　　P(2)＝13/14

3個目を買うとき
　まだ買っていない機種が当たる確率は
　　P(3)＝P(2)×13/14＝(13/14)^2

…

n個目を買うとき
　まだ買っていない機種が当たる確率は
　　P(n)＝(13/14)^(n-1)
　　∴E(n)＝Σ(13/14)^(n-1)　…（解）

参考値（エクセルで計算）：
・E(40)≒13.27(個)
・E(45)≒13.50(個)
・E(77)≒13.95(個)

ということで、
40個買えば13種類は揃う（期待値）
45個買えば50％の確率で全種類揃う。
80個買えば95％の確率で全種類揃う。

知りたいのはこのあたりの数字でしょうか？！
（検算せず一気にやりました。計算結果は無保証です！）

連投失礼します。

E(14)=9.04(個)

すなわち、

「14種類のうち、9機目くらいまでは結構あっさり集まるのだが、それ以降はダブるものばかりでなかなか集まらない。」

とおっしゃる心理はきっと

「14種類だから14個買えば全部揃うだろう！」

と無意識に考えて14個目までは気楽に買うからでしょう。ORとか心理学の領域ですね。

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グラフは下図の通り：

グラフの通り、最後の機種はなかなか揃わないので心理的には相当なストレスになるだろう。

グラフを含む計算式のエクセルファイル：　chokoegg.xls (25.0K)

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